Chapter 2-1. 행렬식의 정의와 성질

 

• 자연수의 집합 $S = {1, 2, ..., n}$에 대하여 $S$에서 $S$로의 일대일 대응 함수를 치환(permutation)이라 한다.
  쉽게 말해 1부터 $n$까지의 수를 임의의 순서로 나열한 것(순열)이다.
• 치환 $\sigma = <j_{1}, j_{2}, ..., j_{n}>$은 다음과 같이 큰 수가 작은 수보다 앞에 오는 경우를 반전(inversion)이 일어났다고 한다. $j_{s}>j_{t}, s<t$.
  예를 들어 치환 $\sigma =<3, 1, 5, 4, 2>$에서 3은 1, 2보다 앞서고, 5는 4, 2보다 앞서고, 4는 2보다 앞서므로 반전이 총 5번 일어났다고 한다.
• 어떤 치환에 대하여 반전수가 짝수이면 짝치환(even permutation), 홀수이면 홀치환(odd permutation)이라고 하며 $S_{n}$의 한 치환 $\sigma$의 부호(sign)을 다음과 같이 정의한다.

 

      $k$는 $\sigma$의 반전수이다.

 

• 모든 $n\times n$행렬에 대하여 함수 $f:M_{n\times n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$가 다음 세 조건을 만족하는 경우 행렬식(determinant)라고 정의한다.
  (1) 행렬이 단위행렬일 때 $f$의 값은 1이다. $f(I_{n})=1$
  (2) 어떠한 두 행의 위치가 바뀌면 $f$의 값은 부호가 바뀐다.
  (3) $f$는 첫 행에서 선형성(linearity)을 갖는다. 임의의 실수 $k, l$에 대하여 $f\begin{bmatrix}  k\textbf{r}_{1}+l\textbf{r}_{1}'\\  \textbf{r}_{2}\\  \vdots\\ \textbf{r}_{n} \end{bmatrix} =kf\begin{bmatrix} \textbf{r}_{1} \\ \textbf{r}_{2} \\  \vdots\\ \textbf{r}_{n}\end{bmatrix}+lf\begin{bmatrix} \textbf{r}_{1}' \\  \textbf{r}_{2}\\  \vdots\\ \textbf{r}_{n}\end{bmatrix}$이 성립한다. $\textbf{r}_{i}$는 행렬의 열벡터를 나타낸다.
  $A$의 행렬식(determinant)은 $det A$또는 $|A|$로 나타낸다.
  
  
• 행렬식의 성질 1
  (1) 행렬식은 모든 행에서 선형성(linearity)을 갖는다
  (2) 행렬 $A$의 한 행이 0이거나 두 개의 행이 서로 같으면 $det A=0$이다.
  (3) 행렬에서 한 행의 상수배를 다른 행에 더하는 기본행 연산의 결과는 행렬식의 값에 영향을 주지 않는다.
  (4) $E$를 기본행렬이라고 하면, $det A \neq 0$이다. 
  (5) $det(EA)=det E det A$이다.
  (6) 행렬 $B$가 행렬 $A$의 두 행을 서로 바꾼 행렬이면 $det B = -det A$이다.
  (7) 삼각행렬의 determinant 값은 주대각성분들의 곱이다.
  (8) 행렬 $A$가 가역(invertible)행렬일 필요충분조건은 $det A \neq 0$이고, $det A^{-1} = \frac{1}{det A}$이다.
  (9) $det A^T=det A$이다. 따라서 행들에 관한 성질들이 열에서도 적용된다.
• 행렬식 구하기 1. Leibniz formula(라이프니츠 공식)
  $n\times n$행렬 $A$에 대하여, $det A=\sum_{\sigma \in S_{n}}^{}sign(\sigma)a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$ 즉, 각 치환의 원소들과 부호의 원소를 곱한 것을 더한 것이다.
  
  
• 행렬식 구하기 2. Sarrus' Method(사루스 공식)
  3차 이하의 행렬식에서만 성립한다. 오른쪽 아래 방향 대각선 성분들을 모두 곱하고 부호가 +이며 왼쪽 아래 방향 대각선 성분들은 모두 곱하고 부호가 -이다. 행렬식의 성질들(특히(3))을 이용하여 행렬을 간단하게 만든 후 공식으로 행렬식을 구하면 계산을 훨씬 더 간단하게 만들 수 있다.