Chapter 1-1. 선형연립방정식과 Gauss-Jordan 소거법

• 미지수가 n개이고, m개의 방정식이 있는 선형연립방정식(system of linear equations)은 다음과 같이 나타낸다.

위와 같은 경우를 동차연립방정식(homogeneous system)이라 하며, 이때 이 연립방정식은 자명한 해(trivial solution)를 최소한 하나의 해로 갖는다.

• 기본행 연산
  (1) 한 행에 0이 아닌 상수를 곱한다
  (2) 서로 다른 두 개의 행의 위치를 바꾼다
  (3) 한 행의 상수배를 한 것을 다른 행에 더한다
• 두 첨가행렬(augmented matrices)은 하나가 유한한 기본행 연산으로 다른 하나로 변환될 수 있으면 
  행일치(row-equivalent)라고 하고, 만약 두 선형연립방정식이 행일치면 서로 같은 해를 갖는다.
• 행사다리꼴(row-echelon form), 기약 행사다리꼴(reduced row-echelon form)
  (1) 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다.
  (2) 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분은 1이다. 이때, 이 1을 그 행의 선행성분(leading 1)
  (3) i행과 (i+1)행 모두에 선행성분이 존재하면 (i+1)행의 선행성분은 i행의 선행성분보다 오른쪽에 위치한다.
  위의 세 조건을 모두 만족한 행렬을 row-echelon form(REF)이라 하며, 추가적으로 다음 조건도 만족하면 reduced row-echelon form(RREF)이라 한다.
  (4) 어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 성분은 0이다. 

row-echelon form            reduced row-echelon form

• 기본행 연산을 통해 row-echelon form을 만드는 것을 가우스 소거법(Gaussian elimination), reduced row-echelon form을 만드는 것을 가우스-조던 소거법(Guass-Jordan elimination)이라 한다. 
• 예제) 다음 선형연립방정식을 Gauss-Jordan elimination을 활용하여 RREF꼴을 구하여라.

 

연립방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같다. 

 

 

먼저, 2행의 선행성분이 3행의 선행성분보다 오른쪽에 있으므로 2행과 3행의 위치를 바꾸고, 바뀐 3행의 선행성분을 1로 만들어주기 위해 3행에 -1을 곱하면 REF꼴을 구할 수 있다. 그 다음 2행에 -2배 한 것을 1행에 더하면 다음과 같이 RREF꼴을 만들 수 있다.

• 위와 같은 RREF꼴에서 선행성분 1을 포함하지 않는 열에 대응하는 변수를 자유변수(free variables), 선행성분 1을 포함하는 열에 대응하는 변수를 기본변수(basic variables)라고 한다.
  자유변수를 t라 표현하면 연립방정식의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 미지수가 방정식보다 많은 모든 동차연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다.