Chapter 1 - 2. 행렬의 덧셈과 곱셈

• $m\times n$ 행렬(matrix)은 $m$개의 행(rows)과 $n$개의 열(column)으로 이루어져 있으며 다음과 같이 나타낸다.  

$m\times 1$ 행렬은 하나의 열만  있으므로 행벡터(row vector), $1\times n$행렬은 하나의 열만 있으므로 열벡터(column vector)라고 하며, 벡터는 보통 굵은 문자 $\textbf{x, y, z}$등을 이용하여 나타낸다.

• $A$를 $n$차 정사각행렬이라고 정의하면,
  (1) 성분 $a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn}$은 $A$의 주대각성분(diagonal entries)이라고 한다.
  (2) 주대각성분을 제외한 다른 성분들이 모두 0일때, $A$를 대각행렬(diagonal matrix)이라고 한다.
  (3) 주대각성분 아래(또는 위) 성분들이 모두 0이면, $A$를 상(또는 하)삼각행렬(upper(또는 lower) triangular matrix)라고 한다.
• 행렬 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$에 대하여 행렬 $A$의 전치행렬(transpose)은 $A^T$로 나타내고, 다음과 같이 정의한다. $[A^T]_{ij}=[A]_{ji}$
• 만약 정사각행렬 $A$가 $A^T=A$라면 $A$는 대칭행렬(symmetric matrix), $A^T=-A$라면 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)라고 한다. 아래 그림과 같이 주대각성분을 기준으로 대칭 또는 반대칭이다.

대칭행렬                        반대칭행렬

 

• 행렬의 상수배(scalar multiplication of matrix)
  $m\times n$행렬 $A=[a_{ij}]$와 상수 $k$, $k\in \mathbb{R}$에 대하여, 행렬 $A$의 $k$배를 다음과 같이 정의한다. 모든 $i, j$에 대하여 $[kA]_{ij}=k[A]_{ij}$

• 행렬의 덧셈(sum of matrices)
  두 행렬 $A=[a_{ij}]_{m\times n}, B=[b_{ij}]_{m\times n}$에 대하여 $A$와 $B$의 합을 다음과 같이 정의한다. 

$A+B=[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}$
두 행렬의 합은 두 행렬의 행과 열의 개수가 서로 같을 때에만 정의된다.

 

• 행렬의 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 하며, $\textbf{0}$로 나타낸다. 
• $A, B, C$가 서로 같은 크기의 행렬이고, $k, l$은 스칼라라고 하면 다음이 성립한다.
  (1) $A+B=B+A$ (교환법칙)
  (2) $(A+B)+C=A+(B+C)$ (결합법칙)
  (3) $A+\textbf{0}=\textbf{0}+A=A$
  (4) $A+(-A)=(-A)+A=\textbf{0}$
  (5) $k(A+B)=kA+kB$
  (6) $(k+l)A = kA+lA$
  (7) $(kl)A=k(lA)$
  (8) $1A=A$
  (9) $(kA)^T=kA^T, (A+B)^T=A^T+B^T$
• 행렬의 곱셈(products of matrices)
  두 행렬의 곱이 성립하려면 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 하며 곱한 행렬의 크기는 앞 행렬의 행 개수와 뒤 행렬의 열 개수와 같다. 두 행렬 $[A_{ij}]_{m\times l}, [B_{ij}]_{l\times n}$에 대하여 행렬 $A$의 $i$번째 행벡터를 $\textbf{a}_{i}$, 행렬 $B$의 열벡터를 $\textbf{b}_{j}$라고 하면, 두 행렬의  곱은 다음과 같이 정의한다.
  $AB=\begin{bmatrix}  \textbf{a}_{1}\textbf{b}_{1}&\textbf{a}_{1}\textbf{b}_{2}  &\cdots   &\textbf{a}_{1}\textbf{b}_{n}  \\  \textbf{a}_{2}\textbf{b}_{1}&\textbf{a}_{2}\textbf{b}_{2}  &\cdots   &\textbf{a}_{2}\textbf{b}_{n}  \\  \vdots &\vdots   &\ddots   &\vdots   \\  \textbf{a}_{m}\textbf{b}_{1}&\textbf{a}_{2}\textbf{b}_{2}  &\cdots   &\textbf{a}_{m}\textbf{b}_{n}  \\ \end{bmatrix}​$
  $[AB]_{ij} = \textbf{a}_{i}\textbf{b}_{j}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{il}b_{lj}=\sum_{k=1}^{l}a_{ik}b_{kj}$
  쉽게 풀어쓰면 $AB$의 $i$행 $j$열의 성분은 $A$의 $i$번째 행벡터와 $B$의 $j$번째 열벡터의 내적이다.
  $AB=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}  &\cdots  &a_{1l}  \\ \vdots &\vdots  &  &\vdots  \\ {\color{Red}a_{{\color{Red}i }{\color{Red} 1}}}&{\color{Red}a_{{\color{Red}i }{\color{Red} 2}} }&{\color{Red}\cdots }&{\color{Red}a_{{\color{Red} i}{\color{Red} l}} }  \\ \vdots &\vdots  &  &\vdots  \\ a_{m1} &a_{m2}  &\cdots  &a_{ml}  \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} &\cdots  &{\color{Red}b_{{\color{Red} 1}{\color{Red} j}}}  &\cdots  &b_{1n}  \\ b_{21} &\cdots  &{\color{Red} b_{{\color{Red} 2}{\color{Red} j}}} &\cdots  &b_{2n}  \\ \vdots &  &{\color{Red}\vdots }  &  &\vdots  \\ b_{l1} &\cdots  &{\color{Red}b_{{\color{Red}l}{\color{Red} j}}}  &\cdots  &b_{ln}  \\ \end{bmatrix}$
• 주대각성분이 모두 1이고 나머지 성분들은 모두 0인 $n$차 행렬을 항등행렬(identity matrix)라고 하며 다음과 같이 나타낸다. $I_{n}=\begin{bmatrix}  1&0  &\cdots  &0  \\  0& 1 &  & \vdots \\ \vdots &  & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
• $A, B, C$가 행렬의 곱셈이 서로 성립하는 임의의 행렬이라 하고, $k$를 임의의 스칼라라고 하면 다음이 성립한다.
  (1) $A(BC)=(AB)C$(결합법칙)
  (2) $A$가 $m\times n$행렬이면 $I_{m}A=A$이고 $A=AI_{n}$이다.
  (3) $A(B+C)=AB+AC$이고 $(A+B)C=AC+BC$ (분배법칙)
  (4) $k(BC)=(kB)C=B(kC)$
  (5) $(AB)^T=B^TA^T$
  주의할 점: 행렬에서는 일반적으로 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다. $AB\neq BA$