Chapter 3-1. 부분 공간과 일차 독립

 

• 벡터 공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분집합 $ W $는 다음 두 조건을 만족하면 부분공간(subspace)이다.
  (1) $ \textbf{x} + \textbf{y} \in W $
  (2) $ k\textbf{x} \in W, k \in \mathbb{R} $
  
  예제) 다음 주어진 집합이 3차원 공간 $ \mathbb{R}^3 $의 부분공간인지 아닌지 판별하여라.
  $ W = {(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : xyz=0} $
  $ W $의 두 벡터 $ \textbf{a}, \textbf{b} $를 $ \textbf{a}=(x_{1}, y_{1}, z_{1}), \textbf{b}=(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $라고 정의하면, $ \textbf{a} + \textbf{b} = x_{1}y_{1}z_{1} +x_{2}y_{2}z_{2} = 0 + 0 =0, \textbf{a}\textbf{b}=(x_{1}y_{1}z_{1})(x_{2}y_{2}z_{2})=0 $이므로 $ W $는 $ \mathbb{R}^3 $의 부분공간이다.
  
  
• $ U $와 $ W $가 벡터 공간 $ V $의 두 부분공간이라 하면 $ U $와 $ W $의 합(sum)은 다음과 같이 정의된다.
  $ U + W = {\textbf{u}+\textbf{w}:\textbf{u} \in U, \textbf{w} \in W} $.
  이때, $ U\bigcap W =$ { $ \textbf{0} $ } 이면, 합(sum)을 직합(direct sum)이라 하고 $ U\bigoplus W $라고 나타낸다.
  $ U \bigoplus W $일 필요충분조건은 어떠한 벡터 $ \textbf{v} \in V $를 만족하는 벡터 $ \textbf{u} \in U $와 $ \textbf{w} \in W $가 유일하게 존재한다는 것이다.
• $ V $가 벡터 공간이고 { $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $ }이 $ V $의 벡터들의 집합이라 하면, 
  $ \textbf{y}=a_{1}\textbf{x}_{1}+a_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +a_{m}\textbf{x}_{m} $, ($ a_{i} $는 스칼라)를 벡터 $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $의 일차결합(linear combination)이라 한다.
•  $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $가 벡터 공간 $ V $안의 벡터들이라고 하자. 그러면 벡터 $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $의 모든 일차결합으로 이루어진 집합 $ W = $ { $ \textbf{y}=a_{1}\textbf{x}_{1}+a_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +a_{m}\textbf{x}_{m} : a_{i} \in \mathbb{R} $ }는 $ V $의 부분공간이라고 하며, $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $에 의해 생성된(spanned) $ V $의 부분공간 또는 $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $가 부분공간 $ W $를 생성(span)한다고 한다. 부분공간 $ W $는 $ <\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}> $로 나타내기도 한다.
  
• 벡터 공간 $ V $안의 벡터들의 집합 {$ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $}은 벡터방정식 
  $ c_{1}\textbf{x}_{1}+c_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +c_{m}\textbf{x}_{m} = \textbf{0} $이
  오직 자명한 해 $ c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{m}=0 $밖에 존재하지 않을 때 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 만약 그렇지 않으면 벡터 $ \textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m} $은 일차종속(linearly dependent)라고 한다.
  
  예제) $ \mathbb{R}^3 $ 안의 두 벡터 $ \textbf{x}=(1, 2, 3) $, $ \textbf{y}=(3, 2, 1) $가 일차독립임을 보여라.
  $ c_{1}\textbf{x}+c_{2}\textbf{y}=c_{1}(1, 2, 3)+c_{2}(3, 2, 1)=(c_{1}+3c_{2}, 2c_{1}+2c_{2}, 3c_{3}+c_{2})=(0, 0, 0) $을 만족하는 $ c_{1} $, $ c_{2} $의 값은 $ c_{1}=c_{2}=0 $밖에 없으므로 두 벡터는 일차독립이다.
  
  
• 일차독립의 성질
  (1) $ m\times n $ 행렬 $ A $가 $ \mathbb{R}^m $안에서 일차독립일 필요충분조건은 $ A\textbf{x}=\textbf{0} $이 오직 자명한 해만을 갖는 것이다. 
  (2) 어떠한 (reduced) row-echelon form꼴인 직사각형 행렬에서 0이 아닌 행들은 일차독립이고, 선행성분 1을 포함하는 열들도 일차독립이다.
  (3) $ U $를 $ A $의 (reduced) row-echelon form꼴이라 했을 떄, $ U $의 열들이 일차독립일 필요충분조건은 $ A $의 열들이 일차 독립인 것이다.
  (4) 0인 성분이 없는 삼각 또는 대각행렬의 행들과 열들은 일차독립이다.
  (5) 만약 $ n > m $이면, 공간 $ \mathbb{R}^m $ 안의 어떠한 $ n $개 벡터들의 집합도 일차종속이다.