정사각행렬 $ A $의 $ i $번쨰 행과 $ j $번째 열을 제거한 부분행렬을 $ M_{ij} $라 하면 $ det M_{ij} $를 소행렬식(minor)이라 하고, 소행렬식에 부호를 붙인 값 $ A_{ij}=(-1)^{i+j}detM_{ij} $을 성분 $ a_{ij} $에 대한 여인자(cofactor)라고 한다.
여인자 전개(cofactor expansion) $ A $가 $ n\times n $ 행렬이고 $ A_{ij} $가 성분 $ a_{ij} $에 대한 여인자(cofactor)라고 하면, (1) $ detA=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in} $, $ 1 \leqslant i \leqslant n $을 $ i $행에 관한여인자 전개(cofactor expansion)라고 한다. (2) $ detA=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj} $, $ 1 \leqslant j \leqslant n $을 $ j $열에 관한 여인자 전개(cofactor expansion)라고 한다. 예제) Vandermonde matrix $ detA=\begin{bmatrix} 1 &x &x^2 &x^3 \\ 1 &y & y^2 & y^3 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & w & w^2 & w^3 \\ \end{bmatrix} $의 값을 구하여라. 한 행의 상수배를 더하는 기본행 연산은 행렬식의 값에 영향을 주지 않으므로 2, 3, 4행에서 1행을 각각 빼준다. $ detA=det\begin{bmatrix} 1 &x &x^2 &x^3 \\ 0 &y-x & y^2-x^2 & y^3-x^3 \\ 0 & z-x & z^2-x^2 & z^3-x^3 \\ 0 & w-x & w^2-x^2 & w^3-x^3 \\ \end{bmatrix} $ 1열에서 1행 성분을 제외한 나머지 성분들은 모두 0이므로 1열에 관한 여인자 전개를 하면 $ det\begin{bmatrix} y-x & y^2-x^2 & y^3-x^3 \\ z-x & z^2-x^2 & z^3-x^3 \\ w-x & w^2-x^2 & w^3-x^3 \\ \end{bmatrix} $가 된다. 행렬식에서 각 행은 선형성을 가지므로 각 행에 들어있는 공통인자를 바깥으로 빼준다. $ (y-x)(z-x)(w-x)det\begin{bmatrix} 1 & y+x & y^2+xy+x^2 \\ 1 & z+x & z^2+xz+x^2 \\ 1 & w+x & w^2+xw+x^2 \\ \end{bmatrix} $ 위와 같은 과정으로 다시 2, 3행에서 1열을 빼고 1열에 관해 여인자 전개를 하면 $ (y-x)(z-x)(w-x)det\begin{bmatrix} 1 & y+x & y^2+xy+x^2 \\ 0 & z-y & (z-y)(z+y+x) \\ 0 & w-y & (w-y)(w+y+x) \\ \end{bmatrix} $
$= (y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)(w-z) $와 같이 행렬식의 값을 구할 수 있다.
$ n\times n $ 행렬 $ A $의 $ j $번째 열을 열벡터 $ \textbf{x}=[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}] $로 바꾼 행렬을 행렬 $ B $라고 정의하자. $ j $열을 제외한 나머지 열들은 $ A $ 와 $ B $가 일치하므로 $ j $열에 관한 여인자들의 값도 모두 같다. 따라서 $ det B $를 $ j $열에 관한 여인자 전개로 구하면 $ det B = x_{1}B_{j1}+x_{2}B_{j2}+\cdots +x_{n}B_{jn} $ $ =x_{1}A_{j1}+x_{2}A_{j2}+\cdots +x_{n}A_{jn} $로 표현할 수 있다. 만약 열벡터 $ \textbf{x} $가 $ A $의 $ j $번째 행이면 즉, $ \textbf{x}=[x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}]=[a_{j1}, a_{j2}, \cdots , a_{jn}] $인 경우 위의 식은 행렬 $ A $의 여인자 전개를 구한 것이나 마찬가지이므로 $ det B=det A $이다. 만약 열벡터 $ \textbf{x} $가 $ j $열이 아닌 다른 열 $ i $열이면 행렬 B에는 동일한 열이 존재하는 것이므로 $ det B =0 $이 된다. 따라서 위의 내용을 다음과 같은 정리로 나타낼 수 있다.
$ A $를 $ n\times n $ 행렬이라 하고 $ A_{ij} $를 성분 $ a_{ij} $에 대한 여인자라고 할 때, $ A $의 수반행렬(adjugate)을 다음과 같이 정의한다.
위의 정리의 내용을 통해 $ A\bullet adjA=adjA\bullet A=\begin{bmatrix} detA & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & detA & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & detA \\ \end{bmatrix}=(detA)I $ 이므로 만약 $ A $가 가역이면 $ A $의 역행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $ A^{-1}=\frac{1}{detA}adjA $
크래머 공식(Crammer's Rule) $ A\textbf{x} = \textbf{b} $가 $ detA \neq 0 $이고 $ det A \neq 0 $을 만족하는 미지수가 $ n $개인 $ n $차 선형연립방정식이라 하면, 연립방정식의 해는 다음과 같다.
여기서 $ C_{j} $는 행렬 $ A $에서 $ j $번째 열을 열벡터 $ \textbf{b} = [b_{1}b_{2}\cdots b_{n}]^T $로 바꾼 행렬이다.
<증명> $ det A \neq 0 $ 이면 $ A $는 가역이므로 $ \textbf{x}=A^{-1}\textbf{b}=\frac{1}{detA}(adjA)\textbf{b} $이다. 따라서 $ x_{j}=\frac{b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+\cdots +b_{n}A_{nj}}{detA}=\frac{detC_{j}}{detA} $이다.
