Chapter 1-3 역행렬과 선형연립방정식의 해 구하기

 

• $ m\times n $ 행렬 $ A $와 $ n \times m $행렬 $ B $에 대하여 $ BA=I_{n} $을 만족하면 , $ B $를 $ A $의 좌역행렬(left inverse)라고 하고, $ AC=I_{m} $을 만족하는 $ n\times m $행렬 $ C $를 $ A $의 우역행렬(right inverse)라고 한다.
  만약 $ n\times n $행렬 $ A $가 좌역행렬 $ B $와 우역행렬 $ C $를 가지면 $ B=BI_{n}=B(AC)=(BA)C=I_{n}C=C $이므로 $ B=C$이다.
  $ n\times n $행렬 $ A $에 대하여 $ AB=I_{n}=BA $를 만족하는 행렬 $ B $가 존재하면 $ A $는 가역(invertible)이라 하고, $ B $를 $ A $의 역행렬(inverse)라고 하며 $ A^{-1} $로 나타낸다.
• 가역행렬 $ A, B $와 스칼라 $ k $에 대하여 다음 성질이 성립한다.
  (1) $ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $
  (2) $ (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} $
  (3) $ (A^{-1})^{-1}=A $
  (4) $ A^{-n}=(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n $
  (5) $ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T $
• 단위행렬(identity matrix) $ I_{n} $에 기본행 연산 세 가지 중 하나만을 적용하여 얻은 행렬을 기본행렬(elementary matrix)라고 하고, 보통 $ E $로 나타낸다. 단위행렬의 한 행에 상수배를 하거나(type I), 단위행렬의 서로 다른 두 행의 위치를 바꾸거나(type II), 단위행렬의 한 행에 다른 행의 상수배를 더하여 구할 수 있다(type III).

type I         type II         type III

• 임의의 행렬의 왼쪽에 기본행렬을 곱한 결과는 기본행렬에 대응하는 기본행 연산을 주어진 행렬에 시행한 결과와 같다. 

주어진 행렬의 2, 3행을 바꾼 결과와 2, 3행을 바꾸는 기본행 연산을 적용한 기본행렬을 주어진 행렬에 곱한 결과가 동일하다.

• $ A $가 $ n\times n $행렬이라고 할때, 다음 명제들을 동치이다.
  (1) $ A $는 가역(invertible)이다.
  (2) $ A\textbf{x}=\textbf{0} $은 오직 자명한 해 $ \textbf{x}=\textbf{0} $만을 해로 갖는다.
  (3) $ A $와 $ I_{n} $은 행일치(row-equivalent)이다.
  (4) $ A $는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다.
• 삼각행렬이 가역일 필요충분조건은 주대각성분에 0이 없는 것이다.
• 역행렬을 구하는 방법
  ① $ n $차 정사각행렬 $ A $가 가역(invertible)이면 $ I_{n} $과 행일치이므로 Gauss-Jordan 소거법을 이용하여 다음과 같이 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. $ E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A=I_{n} $.
  ② $ I_{n}=A^{-1}A=E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A $이므로 $ A^{-1}=E_{k}\cdots E_{2}E_{1} $이다. 
  예제) $ A=\begin{bmatrix}
  1 &1  &1  \\
  1 &2  &1  \\
  1 &3  &0  \\
  \end{bmatrix} $의 역행렬을 구하여라.

 

주어진 행렬을 왼쪽에, 기본행렬을 오른쪽에 표시한다.
2행에서 1행을 뺀다. $ E_{1}=\begin{bmatrix}
1 &0  &0  \\
-1 &1  &0  \\
0 &0  &1  \\
\end{bmatrix}$

 

 

3행에서 1행을 뺀다. $ E_{2}E_{1}=\begin{bmatrix}
1 &0  &0  \\
-1 &1  &0  \\
-1 &0  &1  \\
\end{bmatrix} $

 

3행에서 2행의 2배를 뺀다. $ E_{3}E_{2}E_{1}=\begin{bmatrix}
1 &0  &0  \\
-1 &1  &0  \\
1 &-2  &1  \\
\end{bmatrix} $

 

3행에 -1을 곱한다. $ E_{4}E_{3}E_{2}E{1}=\begin{bmatrix}
1 &0  &0  \\
-1 &1  &0  \\
-1 &2  &-1  \\
\end{bmatrix} $

 

 

1행에서 3행을 뺀다. $ E_{5}E_{4}E_{3}E_{2}E{1}=\begin{bmatrix}
2 &-2  &1  \\
-1 &1  &0  \\
-1 &2  &-1  \\
\end{bmatrix} $

 

 

 마지막으로, 1행에서 2행을 빼주면 왼쪽에 단위행렬이 완성되고 $ A $의 역행렬을 구할 수 있다. 
$ A^{-1}=E_{6}\cdots E_{1}=\begin{bmatrix}
3 &-3  &1  \\
-1 &1  &0  \\
-1 &2  &-1  \\
\end{bmatrix} $

• 만약 $ A $가 가역(invertible)인 $ n\times n $ 행렬이면, 어떠한 열벡터(column vector) $ \textbf{b}=[b_{1}\cdots b_{n}]^T $에 대하여 선형연립방정식 $ A\textbf{x}=\textbf{b} $ 가 오직 하나의 해 $ \textbf{x}=A^{-1}\textbf{b} $를 갖는다. 만약 $ A $가 비가역(not invertible)이면 이 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많은 해를 갖는다.