Chapter 3-1. 부분 공간과 일차 독립

 

• 벡터 공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $W$는 다음 두 조건을 만족하면 부분공간(subspace)이다.
  (1) $\textbf{x} + \textbf{y} \in W$
  (2) $k\textbf{x} \in W, k \in \mathbb{R}$
  
  예제) 다음 주어진 집합이 3차원 공간 $\mathbb{R}^3$의 부분공간인지 아닌지 판별하여라.
  $W = {(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : xyz=0}$
  $W$의 두 벡터 $\textbf{a}, \textbf{b}$를 $\textbf{a}=(x_{1}, y_{1}, z_{1}), \textbf{b}=(x_{2}, y_{2}, z_{2})$라고 정의하면, $\textbf{a} + \textbf{b} = x_{1}y_{1}z_{1} +x_{2}y_{2}z_{2} = 0 + 0 =0, \textbf{a}\textbf{b}=(x_{1}y_{1}z_{1})(x_{2}y_{2}z_{2})=0$이므로 $W$는 $\mathbb{R}^3$의 부분공간이다.
  
  
• $U$와 $W$가 벡터 공간 $V$의 두 부분공간이라 하면 $U$와 $W$의 합(sum)은 다음과 같이 정의된다.
  $U + W = {\textbf{u}+\textbf{w}:\textbf{u} \in U, \textbf{w} \in W}$.
  이때, $U\bigcap W =$ { $\textbf{0}$ } 이면, 합(sum)을 직합(direct sum)이라 하고 $U\bigoplus W$라고 나타낸다.
  $U \bigoplus W$일 필요충분조건은 어떠한 벡터 $\textbf{v} \in V$를 만족하는 벡터 $\textbf{u} \in U$와 $\textbf{w} \in W$가 유일하게 존재한다는 것이다.
• $V$가 벡터 공간이고 { $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$ }이 $V$의 벡터들의 집합이라 하면, 
  $\textbf{y}=a_{1}\textbf{x}_{1}+a_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +a_{m}\textbf{x}_{m}$, ($a_{i}$는 스칼라)를 벡터 $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$의 일차결합(linear combination)이라 한다.
•  $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$가 벡터 공간 $V$안의 벡터들이라고 하자. 그러면 벡터 $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$의 모든 일차결합으로 이루어진 집합 $W =$ { $\textbf{y}=a_{1}\textbf{x}_{1}+a_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +a_{m}\textbf{x}_{m} : a_{i} \in \mathbb{R}$ }는 $V$의 부분공간이라고 하며, $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$에 의해 생성된(spanned) $V$의 부분공간 또는 $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$가 부분공간 $W$를 생성(span)한다고 한다. 부분공간 $W$는 $<\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}>$로 나타내기도 한다.
  
• 벡터 공간 $V$안의 벡터들의 집합 {$\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$}은 벡터방정식 
  $c_{1}\textbf{x}_{1}+c_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +c_{m}\textbf{x}_{m} = \textbf{0}$이
  오직 자명한 해 $c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{m}=0$밖에 존재하지 않을 때 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 만약 그렇지 않으면 벡터 $\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{m}$은 일차종속(linearly dependent)라고 한다.
  
  예제) $\mathbb{R}^3$ 안의 두 벡터 $\textbf{x}=(1, 2, 3)$, $\textbf{y}=(3, 2, 1)$가 일차독립임을 보여라.
  $c_{1}\textbf{x}+c_{2}\textbf{y}=c_{1}(1, 2, 3)+c_{2}(3, 2, 1)=(c_{1}+3c_{2}, 2c_{1}+2c_{2}, 3c_{3}+c_{2})=(0, 0, 0)$을 만족하는 $c_{1}$, $c_{2}$의 값은 $c_{1}=c_{2}=0$밖에 없으므로 두 벡터는 일차독립이다.
  
  
• 일차독립의 성질
  (1) $m\times n$ 행렬 $A$가 $\mathbb{R}^m$안에서 일차독립일 필요충분조건은 $A\textbf{x}=\textbf{0}$이 오직 자명한 해만을 갖는 것이다. 
  (2) 어떠한 (reduced) row-echelon form꼴인 직사각형 행렬에서 0이 아닌 행들은 일차독립이고, 선행성분 1을 포함하는 열들도 일차독립이다.
  (3) $U$를 $A$의 (reduced) row-echelon form꼴이라 했을 떄, $U$의 열들이 일차독립일 필요충분조건은 $A$의 열들이 일차 독립인 것이다.
  (4) 0인 성분이 없는 삼각 또는 대각행렬의 행들과 열들은 일차독립이다.
  (5) 만약 $n > m$이면, 공간 $\mathbb{R}^m$ 안의 어떠한 $n$개 벡터들의 집합도 일차종속이다.