Danny's IT

$ V $와 $ W $가 벡터 공간이라고 하자. 함수 $ T : V\to W $는 모든 벡터 $ \textbf{x}, \textbf{y} \in V $와 스칼라 $ k $에 대하여 다음 조건을 만족시키면 $ V $에서 $ W $로의 선형변환(linear transformation) 또는 선형 연산자(linear operator)라고 한다. (1) $ T(\textbf{x} + \textbf{y})=T(\textbf{x})+T(\textbf{y}) $ (2) $ T(k\textbf{x} = kT(\textbf{x}) $ V = W $일 때, $ T $를 $ V $위의 선형변환 또는 선형연산자라고 한다. $ A $가 $ m\times n $행렬일 때 변환 $ T : \mathbb{R}^n \to \mathb..

$ V $를 벡터 공간이라고 하면, $ V $의 벡터들로 이루어진 부분집합이 일차독립이고 $ V $를 생성하면 이 벡터들의 집합을 $ V $의 기저(basis)라고 한다. $ \mathbb{R}^n $ 안의 벡터 $ e_{1}=(1, 0, ..., 0), e_{2}=(0, 1, 0, ..., 0), ..., e_{n}=(0, 0, ..., 0) $은 $ \mathbb{R}^n $의 표준기저(standard basis)라고 한다. $ \alpha = $ {$\textbf{v}_{1}, \textbf{v}_{2}, ..., \textbf{v}_{n} $}가 벡터 공간 $ V $의 기저(basis)라고 하자. 그러면 $ V $안에 있는 각각의 벡터 $ \textbf{x} $는 $\textbf{v}_{1}, \..

벡터 공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분집합 $ W $는 다음 두 조건을 만족하면 부분공간(subspace)이다. (1) $ \textbf{x} + \textbf{y} \in W $ (2) $ k\textbf{x} \in W, k \in \mathbb{R} $ 예제) 다음 주어진 집합이 3차원 공간 $ \mathbb{R}^3 $의 부분공간인지 아닌지 판별하여라. $ W = {(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : xyz=0} $ $ W $의 두 벡터 $ \textbf{a}, \textbf{b} $를 $ \textbf{a}=(x_{1}, y_{1}, z_{1}), \textbf{b}=(x_{2}, y_{2}, z_{2}) $라고 정의하면, $ \textbf{a} + \textbf{b} = x_..

정사각행렬 $ A $의 $ i $번쨰 행과 $ j $번째 열을 제거한 부분행렬을 $ M_{ij} $라 하면 $ det M_{ij} $를 소행렬식(minor)이라 하고, 소행렬식에 부호를 붙인 값 $ A_{ij}=(-1)^{i+j}detM_{ij} $을 성분 $ a_{ij} $에 대한 여인자(cofactor)라고 한다. 여인자 전개(cofactor expansion) $ A $가 $ n\times n $ 행렬이고 $ A_{ij} $가 성분 $ a_{ij} $에 대한 여인자(cofactor)라고 하면, (1) $ detA=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in} $, $ 1 \leqslant i \leqslant n $을 $ i $행에 관한 여인자 전개(cofact..

자연수의 집합 $ S = {1, 2, ..., n} $에 대하여 $ S $에서 $ S $로의 일대일 대응 함수를 치환(permutation)이라 한다. 쉽게 말해 1부터 $ n $까지의 수를 임의의 순서로 나열한 것(순열)이다. 치환 $ \sigma = $은 다음과 같이 큰 수가 작은 수보다 앞에 오는 경우를 반전(inversion)이 일어났다고 한다. $ j_{s}>j_{t}, s

$ m\times n $ 행렬 $ A $와 $ n \times m $행렬 $ B $에 대하여 $ BA=I_{n} $을 만족하면 , $ B $를 $ A $의 좌역행렬(left inverse)라고 하고, $ AC=I_{m} $을 만족하는 $ n\times m $행렬 $ C $를 $ A $의 우역행렬(right inverse)라고 한다. 만약 $ n\times n $행렬 $ A $가 좌역행렬 $ B $와 우역행렬 $ C $를 가지면 $ B=BI_{n}=B(AC)=(BA)C=I_{n}C=C $이므로 $ B=C$이다. $ n\times n $행렬 $ A $에 대하여 $ AB=I_{n}=BA $를 만족하는 행렬 $ B $가 존재하면 $ A $는 가역(invertible)이라 하고, $ B $를 $ A $의 역행렬(..

$ m\times n $ 행렬(matrix)은 $ m $개의 행(rows)과 $ n $개의 열(column)으로 이루어져 있으며 다음과 같이 나타낸다. $ m\times 1 $ 행렬은 하나의 열만 있으므로 행벡터(row vector), $ 1\times n $행렬은 하나의 열만 있으므로 열벡터(column vector)라고 하며, 벡터는 보통 굵은 문자 $ \textbf{x, y, z} $등을 이용하여 나타낸다. $ A $를 $ n $차 정사각행렬이라고 정의하면, (1) 성분 $ a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn} $은 $ A $의 주대각성분(diagonal entries)이라고 한다. (2) 주대각성분을 제외한 다른 성분들이 모두 0일때, $ A $를 대각행렬(diagonal matrix..

미지수가 n개이고, m개의 방정식이 있는 선형연립방정식(system of linear equations)은 다음과 같이 나타낸다. 위와 같은 경우를 동차연립방정식(homogeneous system)이라 하며, 이때 이 연립방정식은 자명한 해(trivial solution)를 최소한 하나의 해로 갖는다. 기본행 연산 (1) 한 행에 0이 아닌 상수를 곱한다 (2) 서로 다른 두 개의 행의 위치를 바꾼다 (3) 한 행의 상수배를 한 것을 다른 행에 더한다 두 첨가행렬(augmented matrices)은 하나가 유한한 기본행 연산으로 다른 하나로 변환될 수 있으면 행일치(row-equivalent)라고 하고, 만약 두 선형연립방정식이 행일치면 서로 같은 해를 갖는다. 행사다리꼴(row-echelon form..