- 와 가 벡터 공간이라고 하자. 함수 는 모든 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음 조건을 만족시키면 에서 로의 선형변환(linear transformation) 또는 선형 연산자(linear operator)라고 한다.
(1)
(2) V = W T V $위의 선형변환 또는 선형연산자라고 한다. - 가 행렬일 때 변환 이 로 정의되면 선형변환이고, 이 변환은 행렬변환(matrix transformation)이라 한다.
벡터 공간 에 대하여 변환 가 모든 벡터 에 대하여 로 정의되면 항등변환(identitiy transformation)이라고 한다.
벡터 공간 에 대하여 변환 가 모든 벡터 에 대하여 로 정의되면 영변환(zero transformation)이라고 한다. - 가 선형 변환이라고 하면 다음이 성립한다.
(1)
(2) 어떠한 과 스칼라 에 대해서도
이 성립한다.
예제) 다음 행렬이 안의 어떠한 벡터에 대해서도 벡터를 각 만큼 시계반대방향으로 회전시키는 위의 선형변환임을 증명하여라.


이다.
오른쪽 그림과 같이 벡터 가 축과 이루는 각을 라고 하자.
오른쪽 그림과 같이 벡터 가 축과 이루는 각을 라고 하자.
벡터 와 의 길이가 같고, 와 축이 이루는 각의 크기는 이므로 의 축 성분은
,
의 축 성분은
이다.
위 계산의 결과가 선형변환의 결과와 같으므로 위 선형변환은 벡터를 각 만큼 시계반대방향으로 회전시키는 선형변환이다.
- 와 가 벡터 공간이고, 가 에서 로의 선형변환이라고 하면
(1) {}를 의 핵(kernel)이라고 한다.
(2) {}를 의 이미지(image)라고 한다.
와 는 각각 와 의 부분공간이다. - 기저(basis)로부터 선형변환을 구하는 법
와 가 벡터 공간이고, {}이 의 기저(basis)라고 하고 이 안의 개의 벡터들이라고 하자. 그러면 , 을 만족하는 선형변환 가 유일하게 존재한다.
선형변환을 구하려면 먼저 안의 임의의 벡터 를 기저 벡터들의 일차결합으로 표현하여 기저 벡터들의 계수들을 구한다. 그 다음, 일차결합으로 표현된 식을 안에 대입하고 각 에 대응하는 의 값을 대입하여 선형변환 식을 구한다.
예제) 안에 세 백터 , , 가 있다. 의 기저
{}, , , 에 대하여 선형변환 가 다음과 같이 정의되어 있다.
, , . 이때, 을 구하여라.
먼저, 임의의 벡터 을 기저 벡터들의 일차결합으로 표현하면 이므로 다음과 같은 연립방정식을 구할 수 있다.

연립방정식으로부터 , , 임을 알 수 있고, 을 선형변환 식에 대입하면
이다.
이다.
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