Mathematics/선형대수(Linear Algebra)

Chapter 4-1. 선형변환과 선형변환의 성질

Danny1231 2022. 5. 27. 23:17

 

  • VW가 벡터 공간이라고 하자. 함수 T:VW는 모든 벡터 x,yV와 스칼라 k에 대하여 다음 조건을 만족시키면 V에서 W로의 선형변환(linear transformation) 또는 선형 연산자(linear operator)라고 한다.
    (1) T(x+y)=T(x)+T(y)
    (2) T(kx=kT(x) V = W , T V $위의 선형변환 또는 선형연산자라고 한다.
  • Am×n행렬일 때  변환 T:RnRmT(x)=Ax로 정의되면 선형변환이고, 이 변환은 행렬변환(matrix transformation)이라 한다.
    벡터 공간 V에 대하여 변환 T:VV가 모든 벡터 xV에 대하여 T(x)=x로 정의되면 항등변환(identitiy transformation)이라고 한다.
    벡터 공간 V,W에 대하여 변환 T:VW가 모든 벡터 xV에 대하여 T(x)=0로 정의되면 영변환(zero transformation)이라고 한다.
  • T:VW가 선형 변환이라고 하면 다음이 성립한다.
    (1) T(0)=0
    (2) 어떠한 x1,x2,...,xnV과 스칼라 k1,k2,...,kn에 대해서도 
    T(k1x1+k2x2++knxn)=k1T(x1)+k2T(x2)++knT(xn)이 성립한다.

    예제) 다음 행렬이 R2 안의 어떠한 벡터에 대해서도 벡터를  각 θ만큼 시계반대방향으로 회전시키는 R2위의 선형변환임을 증명하여라.  

Rθ(x)=Rθ[xy]=[cosθsinθysinθx+cosθy]이다. 
오른쪽 그림과 같이 벡터 xx축과 이루는 각을 α라고 하자. 



 

 

 
 




벡터 Rθ(x)x의 길이가 같고, Rθx축이 이루는 각의 크기는 α+θ이므로 Rθx축 성분은 xcos(θ+α)=x(cosθcosαsinθsinα)=x(cosθxxsinθyx)
=cosθxsinθy,
Rθy축 성분은
xsin(θ+α)=x(sinθcosα+cosθsinα)=x(sinθxx+cosθyx)
=sinθx+cosθy이다.
위 계산의 결과가 선형변환의 결과와 같으므로 위 선형변환은 벡터를 각 θ만큼 시계반대방향으로 회전시키는 선형변환이다.
  • VW가 벡터 공간이고, T:VWV에서 W로의 선형변환이라고 하면
    (1) Ker(T)={vV:T(v)=0}VT의 핵(kernel)이라고 한다. 
    (2) Im(T)={T(V):vV}=T(V)WT의 이미지(image)라고 한다.
    ker(T)Im(T)는 각각 VW의 부분공간이다. 

  • 기저(basis)로부터 선형변환을 구하는 법
    VW가 벡터 공간이고, {v1,v2,...,vn}이 V의 기저(basis)라고 하고 w1,w2,...,wnW안의  n개의 벡터들이라고 하자. 그러면 T(vi)=wi, i=1,2,...,n을 만족하는 선형변환 T:VW가 유일하게 존재한다. 
    선형변환을 구하려면 먼저 V 안의 임의의 벡터 x를 기저 벡터들의 일차결합으로 표현하여 기저 벡터들의 계수들을 구한다. 그 다음, 일차결합으로 표현된 식을 T(x)안에 대입하고 각 T(vi)에 대응하는  wi의 값을 대입하여 선형변환 식을 구한다.

    예제)  R2 안에 세 백터 w1=(1,2), w2=(3,4), w3=(5,6)가 있다. R3의 기저
    β={v1,v2,v3}, v1=(1,1,1), v2=(1,1,0), v3=(1,0,0)에 대하여 선형변환 T:R3R2가 다음과 같이 정의되어 있다.
    T(v1)=w1, T(v2)=w2, T(v3)=w3. 이때,  T(x1,x2,x3)을 구하여라. 
    먼저, 임의의 벡터 x=(x1,x2,x3)을 기저 벡터들의 일차결합으로 표현하면 (x1,x2,x3)=c1v1+c2v2+c3v3=c1(1,1,1)+c2(1,1,0)+c3(1,0,0)이므로 다음과 같은 연립방정식을 구할 수 있다. 

연립방정식으로부터 c1=x3, c2=x2x3, c3=x1x2임을 알 수 있고, (x1,x2,x3)=x3v1+(x2x3)v2+(x1x2)v3을 선형변환 식에 대입하면 T(x1,x2,x3)=x3T(v1)+(x2x3)T(v2)+(x1x2)T(v3)
                        =x3(1,2)+(x2x3)(3,4)+(x1x2)(5,6)
                        =(5x12x22x3,6x12x22x3) 이다.