$ V $를 벡터 공간이라고 하면, $ V $의 벡터들로 이루어진 부분집합이 일차독립이고 $ V $를 생성하면 이 벡터들의 집합을 $ V $의 기저(basis)라고 한다. $ \mathbb{R}^n $ 안의 벡터 $ e_{1}=(1, 0, ..., 0), e_{2}=(0, 1, 0, ..., 0), ..., e_{n}=(0, 0, ..., 0) $은 $ \mathbb{R}^n $의 표준기저(standard basis)라고 한다.
$ \alpha = $ {$\textbf{v}_{1}, \textbf{v}_{2}, ..., \textbf{v}_{n} $}가 벡터 공간 $ V $의 기저(basis)라고 하자. 그러면 $ V $안에 있는 각각의 벡터 $ \textbf{x} $는 $\textbf{v}_{1}, \textbf{v}_{2}, ..., \textbf{v}_{n} $의 일차결합으로 유일하게 표현될 수 있어야 한다. 즉, $ a_{i} $를 스칼라라 할 때, $ \textbf{x}=a_{1}\textbf{x}_{1}+a_{2}\textbf{x}_{2}+\cdots +a_n\textbf{x}_{n} $을 만족하는 $ a_{i} $들이 유일하게 존재한다. 이때, 벡터 $ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}) $을 기저 $ \alpha $에 대한 $ \textbf{x} $의 좌표벡터(coordinate vector)라고 한다.
$ V $가 벡터 공간이고 $ \alpha= $ {$\textbf{x}_{1}, \textbf{x}_{2}, ..., \textbf{x}_{n} $}를 $ V $안의 $ m $개 벡터들의 집합이라고 하면 다음이 성립한다. (1) 만약 $ \alpha $가 $ V $를 생성(span)하면, 모든 $ m $개보다 많은 벡터들의 집합은 일차종속이다. (2) 만약 $ \alpha $가 일차독립이면, 어떠한 $ m $개보다 적은 벡터들의 집합도 $ V $를 생성할 수 없다.
만약 벡터 공간 $ V $의 한 기저가 $ n $개의 벡터들로 이루어져 있으면, 다른 모든 기저들도 그렇다. 즉, $ \mathbb{R}^n $의 기저는 무수히 많지만, 각 기저에 속하는 벡터의 개수는 항상 같다.
벡터 공간 $ V $를 이루는 기저의 벡터의 개수를 $ n $을 $ V $의 차원(dimension)이라고 하고, $ dimV= n $과 같이 나타낸다. 특수한 경우로, $ V = $ {$\textbf{0} $}일 때는 차원을 0이라고 정의한다.
$ V $가 차원이 $ n $인 벡터 공간이라고 하면 다음이 성립한다. (1) 어떠한 $ n $개의 벡터들의 집합도 $ V $를 생성하면 $ V $의 기저이다. (2) 어떠한 $ n $개의 일차독립인 벡터들의 집합도 $ V $의 기저이다. 즉, 위의 기저의 정의에서 생성과 일차독립 두 조건 중 하나만 만족하더라도 기저인 것이다.
$ V $의 어떤 부분공간 $ U $에 대하여, $ V = U \bigoplus W $를 만족하는 $ V $의 부분공간 $ W $가 존재한다.
$ m\times n $행렬 $ A $에 대하여, (1) $ A $의 행벡터들 {$ \textbf{r}_{1}, \textbf{r}_{2}, ..., \textbf{r}_{n} $}에 의해 생성된 $ \mathbb{R}^n $안의 부분공간을 $ A $의 행공간(row space)라고 하며 $ R(A) $라고 나타낸다. (2) $ A $의 열벡터들 {$ \textbf{c}_{1}, \textbf{c}_{2}, ..., \textbf{c}_{n} $}에 의해 생성된 $ \mathbb{R}^n $안의 부분공간을 $ A $의 열공간(row space)라고 하며 $ C(A) $라고 나타낸다. (3) 선형연립방정식 $ A\textbf{x}= \textbf{0} $의 해집합을 $ A $의 영공간(null space)라고 하며, $ N(A) $로 나타낸다. $ N(A)= $ {$ \textbf{x} \in \mathbb{R}^n: A\textbf{x}=0 $}
$ U $가 행렬 $ A $의 RREF 꼴이라고 하면, $ R(A)=R(U), N(A)=N(U) $이다.
예제) RREF 꼴로 주어진 다음 행렬의 $ R(A), C(A), N(A) $를 구하여라.
행렬 $ U $에서 1, 2, 3행은 선행성분 1을 포함하고 있으므로 일차독립이다. 따라서 $ R(A) $는 1, 2, 3행의 벡터이다.
열공간에 대한 기저는 대칭행렬을 이용하여 구할 수 있다. 행렬 $ U^T $에서 3행과 5행은 다른 행들의 합으로 표현될 수 있으므로 일차독립인 행들은 1, 2, 4행이다. 따라서 $ C(A) $는 행렬 $ U $에서의 1, 2, 4열의 벡터이다.
$ x_{3} = s, x_{5}=t $와 같이 $ x_{3} $와 $ x_{5} $를 자유변수로 표현하면 $ U\textbf{x}=\textbf{0} $의 해집합은 위와 같이 표현할 수 있다. 두 벡터 $ (0, -2, 1, 0, 0) $과 $ (-3, -4, 0, -5, 1) $은 영공간(null space)를 생성하고 일차독립이므로 $ N(A) $도 구할 수 있다. 또한 해공간의 차원은 자유변수의 개수와 같다는 사실도 이 문제를 통해 알 수 있다.
임의의 $ m\times n $행렬 $ A $에 대하여 $ dim R(A) = dim C(A) $이고 이것을 $ A $의 계수(rank)라고 한다. → $ dim N(A) = dim N(U) $ = $ U\textbf{x}=0 $의 자유변수의 개수 → $ dim R(A) = dim R(U) $ = $ U $에서 0이 아닌 행의 개수 = $ A $의 일차독립인 행벡터들의 최대 개수 = $ U\textbf{x}=0 $의 기본변수의 개수 = $ A $의 일차독립인 열벡터들의 최대 개수 = $ dim C(A) $
차원정리(Rank-NulityTheorem) 임의의 $ m\times n $ 행렬 $ A $에 대하여, $ dim R(A) + dim N(A) = rank A + $ nullity of $ A = n $, $ dim C(A) + dim N(A^T) = rank A +$ nullity of $ A^T = m $
$ A $가 $ n\times n $행렬이라 할 때, $ A $가 가역일 필요충분조건은 $ rank A=n $이다.
행렬 $ A $와 $ B $에 대하여 $ AB $가 정의될 때 다음이 성립한다. (1) $ N(AB) \supseteq N(B) $ (2) $ N((AB)^T) \supseteq N(A^T) $ (3) $ C(AB) \subseteq C(A) $ (4) $ R(AB) \subseteq R(B) $ (5) $ rank (AB) \leq min ${$ rankA, rankB $}
$ A $가 rank가 $ r $ 인 $ m\times n $ 행렬이라고 하면 다음이 성립한다. (1) $ A $의 모든 부분행렬 $ C $에 대하여, $ rank C \leq r $ (2) $ A $가 rank가 $ r $인 $ r \times r $ 부분행렬을 최소한 하나 갖는다. 즉, $ A $가 $ r $차의 가역 부분행렬을 갖는다.
